El algoritmo de problemas de asignación y cómo optimiza la asignación de tareas
El problema de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal que se ocupa de asignar un conjunto de recursos (por ejemplo, trabajadores, máquinas) a un conjunto de tareas, donde cada recurso solo se puede asignar a una tarea y cada tarea solo se puede asignar a un recurso. El objetivo es minimizar el costo total o maximizar el beneficio total asociado con las tareas.
Piense en ello así: Tiene un equipo de plomeros (recursos) y una lista de casas que necesitan reparaciones de plomería (tareas). Cada plomero es bueno en diferentes tipos de reparaciones y puede cargar diferentes cantidades dependiendo de la casa. El problema de la asignación le ayuda a descubrir el mejor plomero para cada casa para minimizar el costo total.
Algoritmos comunes para resolver el problema de asignación:
Si bien el problema de la asignación se puede resolver utilizando técnicas de programación lineal generales como el método Simplex, típicamente se utilizan algoritmos más eficientes y especializados. El más popular es el algoritmo húngaro .
1. Algoritmo húngaro (también conocido como algoritmo Kuhn-Munkres):
El algoritmo húngaro es un algoritmo de optimización combinatoria que resuelve el problema de asignación en el tiempo polinomial (O (N^3) para un problema N x N). Se basa en el concepto de coincidencia de costos mínimos En un gráfico bipartito. Aquí hay un desglose simplificado de los pasos involucrados:
a. Representación de la matriz de costos:
* El problema se representa como una matriz de costos donde:
* Las filas representan recursos (por ejemplo, plomeros).
* Las columnas representan tareas (por ejemplo, casas).
* Cada celda (i, j) contiene el costo (o ganancia) de asignar recursos i a la tarea j.
b. Reducción de la fila:
* Para cada fila, encuentre el elemento más pequeño en esa fila y sutre de todos los elementos en esa fila. Esto asegura que cada fila tenga al menos un cero.
c. Reducción de columna:
* Para cada columna, encuentre el elemento más pequeño en esa columna y sutre de todos los elementos en esa columna. Esto asegura que cada columna tenga al menos un cero.
d. Cubra todos los ceros con un número mínimo de líneas:
* Dibuje el número mínimo de líneas horizontales y verticales para cubrir todos los ceros en la matriz de costo reducido.
* Si el número de líneas es igual al número de filas (o columnas) (n), entonces se puede encontrar una asignación óptima. Ir al paso (f).
* Si el número de líneas es menor que n, entonces la solución actual no es óptima. Ir al paso (e).
e. Mejorar la matriz (si el número de líneas
* Encuentre el elemento descubierto más pequeño (es decir, un elemento que no está cubierto por ninguna línea).
* Resta este elemento descubierto más pequeño de todos los elementos descubiertos.
* Agregue este elemento descubierto más pequeño a todos los elementos que están en la intersección de dos líneas.
* Vuelve al paso (d).
f. Asignación óptima:
* Una vez que tenga una matriz de costos donde el número mínimo de líneas para cubrir todos los ceros sea igual al número de filas (o columnas), puede encontrar una tarea óptima.
* Busque filas y columnas con ceros únicos. Asigne el recurso correspondiente a la tarea correspondiente.
* Elimine la fila y la columna asociadas con el cero asignado.
* Repita el proceso hasta que se hayan asignado todos los recursos y tareas.
Ejemplo (simplificado):
Supongamos que tiene tres plumeros (P1, P2, P3) y tres casas (H1, H2, H3). La matriz de costos es:
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 10 | 12 | 15 |
| P2 | 8 | 11 | 13 |
| P3 | 9 | 10 | 12 |
Aplicemos el algoritmo húngaro (simplificado):
1. Reducción de la fila:
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 0 | 2 | 5 |
| P2 | 0 | 3 | 5 |
| P3 | 0 | 1 | 3 |
2. Reducción de la columna:
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 0 | 1 | 2 |
| P2 | 0 | 2 | 2 |
| P3 | 0 | 0 | 0 |
3. Cubre ceros: Puede cubrir todos los ceros con dos líneas (una horizontal en la fila P3 y una vertical en la columna H1). Desde 2 <3, la solución no es óptima.
4. Mejora la matriz: El elemento descubierto más pequeño es 1.
* Resta 1 de elementos descubiertos.
* Agregue 1 a los elementos de intersección.
| | H1 | H2 | H3 |
| ------ | ------ | ------ | ------ |
| P1 | 0 | 0 | 1 |
| P2 | 0 | 1 | 1 |
| P3 | 1 | 0 | 0 |
5. Cubre ceros: Ahora puede cubrir todos los ceros con tres líneas. 3 =3, entonces la solución es óptima.
6. Asignación óptima:
* P1 solo se puede asignar a H2 (cero único).
* P2 solo se puede asignar a H1 (cero único).
* P3 solo se puede asignar a H3 (cero único).
Por lo tanto, la asignación óptima es:P1 -> H2, P2 -> H1, P3 -> H3. El costo total sería 12 + 8 + 12 =32.
Por qué funciona el algoritmo húngaro:el principio subyacente
El algoritmo húngaro aprovecha los siguientes conceptos:
* sumar o restar una constante desde una fila o columna: Agregar o restar un valor constante de todos los elementos en una fila o columna no cambia la asignación óptima. Esto se debe a que los costos relativos entre los recursos siguen siendo los mismos.
* Asignaciones de costo cero: El algoritmo tiene como objetivo crear una matriz de costos donde las tareas óptimas tienen un costo cero. Esto significa que ha encontrado la mejor combinación de recursos y tareas en función de la matriz de costo inicial.
* Teorema de König: Este teorema relaciona el número mínimo de líneas necesarias para cubrir todos los ceros en una matriz con el número máximo de ceros independientes (ceros de tal manera que no hay dos en la misma fila o columna). Cuando el número de líneas de cobertura es igual al tamaño de la matriz, se puede encontrar un conjunto máximo de ceros independientes, que corresponde a una asignación óptima.
2. Otros algoritmos y consideraciones:
* Algoritmo de subastas: Adecuado para problemas de asignación a gran escala.
* Algoritmos de flujo de red: El problema de la asignación se puede modelar como un problema de flujo de red y resolverse utilizando algoritmos como el algoritmo Ford-Fulkerson o el algoritmo Edmonds-Karp.
Cómo el problema de la tarea optimiza la eficiencia:
Los algoritmos de problemas de asignación optimizan la asignación de tareas a recursos de manera eficiente por:
* Minimizar los costos/maximizar las ganancias: Encuentran la combinación de tareas que resulta en el costo total más bajo o el beneficio total más alto.
* Asegurar la tarea uno a uno: Cada recurso se asigna a una sola tarea, y cada tarea se asigna a un solo recurso. Esto evita la sobrecarga de recursos o la duplicación de tareas.
* Considerando las capacidades/costos individuales: La matriz de costos refleja los costos o ganancias específicos asociados con cada combinación de tareas de recursos. Esto permite que el algoritmo tenga en cuenta las diferentes habilidades y eficiencias de cada recurso.
* Encontrar la solución globalmente óptima: Algoritmos como el algoritmo húngaro garantizan que encuentre la mejor tarea posible (óptima).
Aplicaciones del problema de asignación:
El problema de la asignación tiene una amplia gama de aplicaciones en varios campos, que incluyen:
* Investigación de operaciones: Optimización de la asignación de recursos en fabricación, logística y transporte.
* Gestión de proyectos: Asignación de miembros del equipo para proyectar tareas.
* Healthcare: Asignación de enfermeras a pacientes en un hospital.
* Sports: Asignando jugadores a posiciones en un equipo.
* Aprendizaje automático: Puntos de datos coincidentes en el reconocimiento de imágenes o los algoritmos de agrupación.
* Transporte: Asignación de vehículos a rutas en servicios de entrega.
En resumen, el problema de asignación es una herramienta poderosa para optimizar la asignación de tareas en escenarios en los que los recursos deben asignarse a las tareas de manera individual. Los algoritmos como el algoritmo húngaro proporcionan soluciones óptimas eficientes y garantizadas, lo que lleva a un ahorro de costos significativo y una mejor eficiencia.