Principios clave de programación dinámica (DP)
La programación dinámica es una técnica algorítmica utilizada para resolver problemas de optimización al romperlos en subproblemas más pequeños y superpuestos, resolver cada subproblema solo una vez y almacenar los resultados para evitar cálculos redundantes. Es particularmente adecuado para problemas que exhiben subestructura óptima y subproblemas superpuestos .
Aquí hay un desglose de sus principios clave:
1. Subestructura óptima:
- Un problema exhibe una subestructura óptima si se puede construir una solución óptima al problema a partir de soluciones óptimas a sus subproblemas. Esto significa que si conoce la solución óptima para cada pieza más pequeña, puede reconstruirlas para formar la solución óptima general.
- Ejemplo: La ruta más corta entre dos ciudades en un gráfico tiene una subestructura óptima. Cualquier subpatamento de la ruta más corta también debe ser la ruta más corta entre sus puntos finales.
2. subproblemas superpuestos:
- El problema se puede dividir en subproblemas que se reutilizan varias veces en el cálculo. Esto significa que los mismos subproblemas se resuelven repetidamente si se usa un enfoque recursivo ingenuo.
- Ejemplo: Calcular el número nth fibonacci implica recursivamente el calculación repetidamente de los números de fibonacci más pequeños (por ejemplo, FIB (3) se calcula varias veces al calcular FIB (5)).
3. memoización (arriba hacia abajo) o tabulación (abajo):
- Memoization (de arriba hacia abajo): Este enfoque comienza con el problema original y lo descompone de manera recursiva en subproblemas. Los resultados de cada subproblema resuelto se almacenan (generalmente en un diccionario o mapa hash) para evitar la recomputación. Cuando se encuentra un subproblema por segunda vez, su resultado almacenado simplemente se busca y devuelve.
- tabulación (abajo): Este enfoque calcula sistemáticamente las soluciones a todos los subproblemas posibles de una manera ascendente, comenzando con los subproblemas más pequeños y acumulando el problema original. Los resultados generalmente se almacenan en una tabla (por ejemplo, una matriz o matriz).
4. Estado:
- Un estado representa una configuración específica del problema que debe resolverse. Definir el estado es crucial para diseñar una solución DP. El estado debe capturar toda la información necesaria para resolver un subproblema independientemente de otros subproblemas. El número de estados generalmente determina la complejidad espacial de la solución DP.
- Ejemplo: En el problema de la mochila, un estado podría definirse como `(índice, capacidad)` donde `índice representa los elementos considerados hasta ahora y 'capacidad' representa la capacidad restante de la mochila.
5. Transiciones:
- Las transiciones son las reglas que describen cómo calcular la solución a un estado dado basado en las soluciones a sus subproblemas. Estas reglas definen la relación entre los diferentes estados y le permiten construir la solución a partir de subproblemas más pequeños. Las transiciones se expresan típicamente como ecuaciones recursivas.
- Ejemplo: En la secuencia Fibonacci, la transición es `fib (n) =fib (n-1) + fib (n-2)`.
Aplicaciones de programación dinámica
La programación dinámica se usa ampliamente en varios dominios. Aquí hay algunas aplicaciones notables:
1. Problemas de optimización:
* Algoritmos de ruta más cortos:
* Algoritmo Floyd-Warshall: Encuentra los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en un gráfico ponderado.
* Algoritmo de Bellman-Ford: Encuentra la ruta más corta desde un vértice de origen hasta todos los demás vértices en un gráfico ponderado, incluso con pesos de borde negativo (detecta ciclos negativos).
* Problema de mochila: Determina los artículos más valiosos para incluir en una mochila sin exceder su capacidad de peso. Las variaciones incluyen mochila 0/1, mochila ilimitada y mochila fraccional.
* subsecuencia común más larga (LCS): Encuentra la secuencia más larga de caracteres comunes a dos o más cadenas. Se utiliza en bioinformática (alineación de secuencias), comparación de archivos y edición de texto.
* Multiplicación de la cadena de matriz: Determina el orden óptimo de multiplicar una secuencia de matrices para minimizar el número de multiplicaciones escalares.
* Distancia de edición (distancia de Levenshtein): Calcula el número mínimo de ediciones (inserciones, deleciones, sustituciones) necesarias para transformar una cadena en otra. Utilizado en correctores de ortografía, secuenciación de ADN y procesamiento del lenguaje natural.
* Problema de cambio de monedas: Encuentra el número mínimo de monedas necesarias para hacer una cantidad determinada, o la cantidad de formas de hacer una cantidad determinada utilizando un conjunto de monedas.
* Problema de vendedor ambulante (TSP) (algoritmo de Karp Held-karp): Encuentra la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y regresa a la ciudad de Origin. Si bien DP proporciona una solución * exacta * para pequeñas instancias, no es práctico para grandes instancias (NP-HARD).
2. Análisis de secuencia:
* Alineación de secuencia (bioinformática): Alinear secuencias de ADN o proteínas para identificar similitudes y diferencias, a menudo utilizando algoritmos como Needleman-Wunsch (alineación global) y Smith-Waterman (alineación local).
* Modelos Hidden Markov (HMMS): Se utiliza en el reconocimiento de voz, el procesamiento del lenguaje natural y la bioinformática para modelar datos secuenciales. El algoritmo Viterbi, un algoritmo DP, se usa para encontrar la secuencia más probable de estados ocultos dada una secuencia de observaciones.
3. Algoritmos gráficos:
* Ally-Pairs más cortos (Floyd-Warshall): Como se mencionó anteriormente.
* Problemas de flujo de red: Encontrar el flujo máximo de una red de una fuente a un fregadero.
4. Teoría del juego:
* Encontrar estrategias óptimas: En juegos como Ajedrez o Tic-Tac-Toe, la programación dinámica se puede usar para determinar los movimientos óptimos para un jugador.
* Algoritmo Minimax (con poda alfa-beta): Una variante de la programación dinámica a menudo utilizada en el juego para explorar posibles estados de juego y encontrar el mejor movimiento para un jugador.
5. Visión de la computadora:
* segmentación de imágenes: Dividir una imagen en regiones u objetos significativos. La programación dinámica se puede utilizar para optimizar el proceso de segmentación.
6. Procesamiento de texto:
* Justificación de texto: Determinar la forma óptima de dividir un párrafo de texto en líneas para minimizar la rugencia del margen derecho.
* Rompiendo palabras: Romper una secuencia de personajes en palabras.
7. Sistemas de control:
* Control óptimo: Determinar las entradas de control que conducirán un sistema de un estado a otro de una manera óptima (por ejemplo, minimizando el consumo de energía).
Elegir entre memoización y tabulación:
* Memoización:
* Más intuitivo y más fácil de entender para algunos problemas.
* Calcula solo los subproblemas que realmente se necesitan.
* Puede sufrir un desbordamiento de pila para una recursión muy profunda.
* Tabulación:
* Por lo general, más eficiente en términos de factores constantes (sin sobrecarga de recursión).
* Puede calcular algunos subproblemas que no son necesarios.
* Generalmente requiere un orden cuidadoso de los cálculos para garantizar que se resuelvan subproblemas antes de que sean necesarios.
Pasos para resolver un problema de programación dinámica:
1. Defina el estado: Determine los parámetros que identifican de manera única un subproblema.
2. Defina las transiciones: Exprese la solución a un subproblema en términos de las soluciones a subproblemas más pequeños.
3. Identificar los casos base: Defina las soluciones a los subproblemas más pequeños (el punto de partida).
4. Implementar el algoritmo: Use memoización (arriba hacia abajo) o tabulación (abajo) para calcular y almacenar las soluciones.
5. Determine el orden de cálculo: Si usa la tabulación, determine el orden correcto para calcular los subproblemas.
6. Extraiga la solución óptima: Una vez que se resuelvan todos los subproblemas, extraiga la solución óptima al problema original de los resultados almacenados.
La programación dinámica es una técnica poderosa, pero requiere un análisis cuidadoso y un diseño específico de problemas. Comprender los principios y practicar con varios ejemplos es clave para dominar este enfoque algorítmico.