He aquí por qué es decidible y cómo una máquina Turing puede decidirlo:
decidibilidad: Un idioma es decidible si existe una máquina de turbio que se detiene en cada entrada y acepta la entrada si está en el idioma y la rechaza si no lo es.
Turing Machine Decish: Podemos construir una máquina Turing `d` que decida` a` como sigue:
1. Entrada: `D` toma como entrada`
2. Simulación: `D` simula el DFA` M` en la cadena de entrada `W`. Esto es posible porque `D` puede realizar un seguimiento del estado actual de` M` y el símbolo actual que se lee de `W`. La simulación procede de la siguiente manera:
* Iniciar `M` en su estado inicial.
* Para cada símbolo en `W`, Transición` M` al siguiente estado de acuerdo con su función de transición.
3. Aceptar/rechazar:
* Si `M` termina en un estado de aceptación después de leer toda la cadena` W`, entonces `d` acepta`
* Si `M` termina en un estado no aceptado después de leer toda la cadena` W`, entonces `D` rechaza`
Por qué funciona esto:
* DFAS siempre se detiene: DFAS, por definición, procesa cada símbolo de entrada exactamente una vez y luego se detiene. No tienen bucles infinitos ni comportamiento indefinido.
* La simulación es posible: Una máquina de Turing puede simular fácilmente el comportamiento determinista de un DFA porque tiene suficiente memoria y control para rastrear el estado y la posición de entrada del DFA.
* deteniendo: La máquina Turing `d` siempre se detiene porque la simulación DFA siempre se detiene.
* corrección: `D` acepta exactamente las cadenas`
Prueba formal (boceto):
Para demostrar rigurosamente la decidibilidad, necesitaría:
1. Defina formalmente la codificación: Especifique cómo un DFA `M` y una cadena` W` se representan como cadenas en el alfabeto de entrada de la máquina Turing `D`.
2. Defina formalmente la máquina Turing `D`: Dé un diagrama de estado o una descripción formal de las transiciones de `D`.
3. Demuestre corrección: Muestre que si `
4. Probar detenerse: Muestre que `d` siempre se detiene en cualquier entrada.
En resumen: Debido a que podemos construir una máquina Turing que siempre se detenga y acepte correctamente o rechaza en función de si un DFA determinado acepta una cadena dada, el lenguaje `A` es decidible. Este es un ejemplo fundamental e importante en la teoría de la computación.